20 世紀(jì) 50 年代，數(shù)學(xué)家恩斯特·施特勞斯（Ernst Straus）提出了一個有趣的問題：在一個側(cè)壁由理想反射鏡構(gòu)成的任意形狀的空房間里，一個點光源是否總能照亮整個房間？諾貝爾獎獲得者羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）爵士巧妙地回答了這個問題，他設(shè)計了一個包含不能被照亮區(qū)域的房間，因此被稱為“無法被完全照亮的彭羅斯房間”（以下簡稱“彭羅斯房間”）。然而，彭羅斯房間真的不能被完全照亮嗎？在今天這篇文章中，我們將使用 COMSOL Multiphysics  軟件進行模擬，看看情況是不是像他所回答的那樣，并討論了射線光學(xué)的基本假設(shè)。
　　照明問題

　　當(dāng)你次聽到這個問題時，可能不能立即明白它到底在問什么。我們以下圖中的示例來說明。如左圖所示，一個二維房間的鏡面墻可以是任意形狀，光源可以位于房間內(nèi)的任何位置。在這種特殊情況下，很容易想象整個房間都會被光源照亮，這一點也在右圖中的射線追蹤模擬中得到了證實。本質(zhì)上，施特勞斯的問題是：是否存在這樣一種房間形狀設(shè)計，當(dāng)在其中放置點光源時，某些區(qū)域不會被照亮。

　　圖片一個任意形狀的空房間，周圍是完美的鏡子，房間內(nèi)放有一個點光源(左)。射線追蹤模擬顯示整個房間都被點光源照亮(右)。

　　看到這個問題，我立刻想到，也許一個拐角很尖的房間可以阻止某些區(qū)域被照亮。但是，你可能已經(jīng)猜到了：如果可以這么容易地計算出一個不能被照亮的房間的形狀，那么對于科學(xué)界來說，這就不是一個有趣的問題了。我們可以看到，只要有足夠的時間，燈光總會照亮整個房間。在這一點上，你可能不相信并認為你可以設(shè)計一個不能被照亮的房間。如果你準(zhǔn)備接受這個挑戰(zhàn)，歡迎你隨時使用 COMSOL 射線光學(xué)模塊來試一試。

　
　　帶有尖角的房間完全被點光源照亮。
　　無法被完全照亮的彭羅斯房間

　　這個棘手的問題終被杰出的 2020 年諾貝爾物理學(xué)獎得主羅杰·彭羅斯解決了。如下圖所示，他的設(shè)計初看并不顯眼。這個房間由頂部和底部的兩個橢圓形墻壁和一個帶有兩個“傘”形切口的矩形區(qū)域組成。設(shè)計的要求是，將頂壁和底壁描述為橢圓 圖片，并且橢圓的焦點與傘的角點重合。一些細節(jié)，諸如 圖片 和 圖片 的具體值、傘的形狀、傘的寬度等都不會改變房間的屬性。

　　無法被完全照亮的彭羅斯房間的設(shè)計。

　　讓我們使用射線光學(xué)模塊來看看它是否有效！在下面的動畫中，我們將點光源放置在一些具有代表性的位置——中心、上半部分和左邊傘的左側(cè)（如果我們假設(shè)傘是直立的，那么光源就位于傘的下方），光線從這些點各向同性地發(fā)射。顯然，在任何情況下，都存在未被光照亮的區(qū)域。當(dāng)光源被放置在傘的下方時，光線甚至不會傳播到房間的下半部分。請注意，這并不是因為時域仿真運行時間不夠長。即使時間接近無限長，這些陰影區(qū)域仍然沒有被照亮。

　　將點光源放置在彭羅斯房間的不同位置進行射線追蹤模擬。在任何情況下，總是存在未照亮的區(qū)域。

　　彭羅斯房間的獨特性來自于橢圓鏡的特殊性。你可能還記得，在大學(xué)光學(xué)課上學(xué)過，從橢圓鏡的一個焦點發(fā)出的光將聚焦在另一個焦點上，下面左下方的動畫演示了這一特性。橢圓鏡另一個鮮為人知的特性是，當(dāng)光線從橢圓的一個焦點和其近的頂點之間發(fā)出時，它只會到達另一個焦點和另一個頂點之間的一點，永遠不會與焦點之間的長軸相交，這個特性在下面中間的動畫中進行了演示。此外，從兩個焦點之間發(fā)出的光永遠不會與每個焦點和其近的頂點之間的長軸相交，如下面右邊的動畫所示。

　　左：在焦點處發(fā)射的光線只會在焦點處與長軸相交。中：在焦點和近的頂點之間發(fā)射的光線不會與焦點之間的長軸相交。右：在兩個焦點之間發(fā)射的光線只會與焦點之間的長軸相交。
　　考慮到這些特性，我們可以將彭羅斯房間劃分為如下所示的區(qū)域。再次提醒，在彭羅斯的設(shè)計中，橢圓的焦點與傘的邊緣重合。因此，我們知道：

　　放置在A1里面的一個點光源，只會照亮 ，A1,B1和 A2，因為它永遠不能與焦點之間的橢圓長軸相交并進入 C1 區(qū)域。

　　放置在 B1 的一個點光源，不能照亮 A3 和 A4，因為光線只能進入下橢圓的兩個焦點之間的下半部。因此，它們永遠不能與焦點和頂點之間的長軸相交并進入 A3 和 A4。
　　同樣的原因，放置在C1 的一個點光源，不能照亮 A1, A2, A3和 A4。
　　由于對稱性，放置在房間下半部分相應(yīng)區(qū)域的光源也會產(chǎn)生相同的效果。因此，我們可以得出結(jié)論，無論點光源放置在房間內(nèi)的哪個位置，彭羅斯房間都會存在不能被照亮的區(qū)域。

    將房間劃分為不同的區(qū)域。放置在 A1 區(qū)域的一個光源只會照亮 A1, B1和  A2區(qū)域；放置在  區(qū)域的 一個光源不會照亮A3 和 A4。放置在 C1 的一個光源不會照亮 A1,A2,A3 和 A4。

　　讓光存在：照亮沒有照亮的區(qū)域
　　上文中的射線追蹤模擬似乎顯示了令人信服的結(jié)果，證實了房間無法被照亮，但真的是這樣嗎？我們不能忘記射線光學(xué)的基本假設(shè)：光的波長遠遠小于與光相互作用的物體的大小，因此，衍射效應(yīng)可以完全忽略。我們記得 圖片 是描述房間頂部和底部墻壁的橢圓的長軸。射線光學(xué)模擬本質(zhì)上是假設(shè)波長  <<。如果我們有一個大小在米級尺度的真實房間，光源在可見光譜范圍內(nèi)（約 500nm 波長），這個假設(shè)是成立的。但是，如果我們縮小房間或者增加光的波長，使 圖片 與 圖片 大小相當(dāng)，那會怎樣？

　　為了測試這一點，我們現(xiàn)在使用波動光學(xué)模塊進行全波模擬。一個點[線電流（面外）]放置在左上角的傘的下方（圖片 區(qū)域)，類似于上面顯示的房間的第三個射線追蹤動畫。線電流用作點源，發(fā)射出電場指向面外方向的圓柱形波。在頻域中模擬波長增加時的場分布，如下圖所示。正如預(yù)期的那樣，在 圖片（左上）時，場分布與射線追蹤模擬相似。場似乎沒有穿過房間的下半部分。然而，隨著波長變長，衍射更加突出，場滲入到房間的下半部分。在 圖片（左下）和 圖片（右下）時，很明顯之前沒有被照亮的區(qū)域被照亮了！

　　圖片在 圖片, 圖片, 圖片 和 圖片 時，模擬的頻域中的場分布。在較短的波長下，場分布與射線追蹤結(jié)果類似。然而，在較長的波長下，場會穿透到之前由于衍射而沒有被照亮的區(qū)域。圖中繪制了電場的模。

　　除了使用電磁波，頻域接口來展現(xiàn)達到穩(wěn)態(tài)時的場分布外，使用電磁波，瞬態(tài)接口運行時域仿真可以通過視圖查看波的傳播和衍射過程。

　　
　　由位于房間上半部的左側(cè)傘的“下方”（左側(cè)）的線電流發(fā)出的面外電場，并在時域中進行了模擬。由于衍射，電場滲入到房間的下半部分。波長為 。
　　波干涉
　　到目前為止，我們的模擬似乎表明彭羅斯房間只有在忽略衍射效應(yīng)的前提下才能不被照亮。但是，我們必須意識到，不能急于得出這個結(jié)論，實際情況更加復(fù)雜。當(dāng)光的波動性出現(xiàn)時，需要考慮另一個重要現(xiàn)象——干涉。通過查看頻域仿真結(jié)果，我們可以看到，在許多區(qū)域，電場模實際上為零。這是因為出射波和衍射波相互干涉，形成一個場強存在零點的駐波模式。因此，從某種意義上說，這些區(qū)域在達到穩(wěn)態(tài)時并未被照亮。如果等待足夠長的時間，總會有沒有光線的區(qū)域。從時域角度來看，當(dāng)光波次傳播到這些區(qū)域時，它們在一段時間內(nèi)被照亮，直到衍射波到達后抵消電場。從這個意義上說，整個房間至少在一段時間內(nèi)都被照亮了。總之，整個房間有沒有被照亮取決于你的解釋。重要的是，我們可以看到，在不同的尺度上，光學(xué)現(xiàn)象看起來可能大不相同。作為仿真工作者，我們始終需要牢記波動光學(xué)和射線光學(xué)之間的根本區(qū)別，以及與之相關(guān)的獨特現(xiàn)象。
　　結(jié)語
　　除了這個有意思的數(shù)學(xué)謎題之外，彭羅斯房間是展示波動光學(xué)和射線光學(xué)之間根本區(qū)別的一個很好的例子。在不同的假設(shè)下，同一個問題的結(jié)論可能完全不同。它還回答了很多初學(xué)者提出的問題：COMSOL? 軟件有兩個光學(xué)模塊。我應(yīng)該使用波動光學(xué)模塊還是射線光學(xué)模塊來模擬我的光學(xué)問題？簡單的回答是：我們研究的幾何尺寸遠大于相關(guān)波長，如可見光與相機透鏡系統(tǒng)的交互或街道上運行的激光雷達，那么使用射線光學(xué)模塊就非常合適。另一方面，如果我們關(guān)注的是尺寸與波長相當(dāng)或更小的納米粒子的光散射現(xiàn)象，那么使用波動光學(xué)模塊或 RF 模塊進行全波模擬是不可避免的。同時，模塊的選擇還取決于你感興趣的物理量和過程。例如，射線光學(xué)模擬可以生成光傳播路徑，而波動光學(xué)模擬可以渲染完整的電場分布。
　　為你的仿真選擇合適的模塊不僅可以確保仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性，還可以節(jié)省大量的仿真時間。