極點(diǎn)和零點(diǎn)
　我之前寫過一篇關(guān)于濾波器理論中的極點(diǎn)和零點(diǎn)的文章，以防您需要對(duì)該主題進(jìn)行更廣泛的復(fù)習(xí)。極點(diǎn)代表導(dǎo)致傳遞函數(shù)的分母等于零的頻率，并且它們會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)幅度響應(yīng)的斜率減小。零表示導(dǎo)致傳遞函數(shù)的分子等于零的頻率，并且它們會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)傳遞函數(shù)的斜率增加。
　在本文中，我們將重點(diǎn)關(guān)注巴特沃斯低通濾波器，它至少有兩個(gè)極點(diǎn)且沒有零點(diǎn)。（所有低通濾波器在 ω = 無窮大處至少有一個(gè)零，但這些不會(huì)出現(xiàn)在零極點(diǎn)圖中，通?？梢院雎?。）　
　繪制極點(diǎn)和零點(diǎn)
　有關(guān)系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的信息可以通過在復(fù)平面上標(biāo)記它們的位置來直觀地傳達(dá)。如果您讀過我關(guān)于奈奎斯特圖或復(fù)共軛極點(diǎn)的文章，或者 Sergio Franco 博士關(guān)于極點(diǎn)分裂的文章，您就會(huì)熟悉零極點(diǎn)圖的概念。
　下圖展示了基本結(jié)構(gòu)。

　

　
　極點(diǎn)或零點(diǎn)的位置由水平繪制的實(shí)部和垂直繪制的虛部確定。極點(diǎn)用 ? 標(biāo)記，零點(diǎn)用圓圈標(biāo)記。在上面的示例中，兩個(gè)極點(diǎn)代表復(fù)共軛對(duì)，因?yàn)樗鼈兊膶?shí)部相等，虛部大小相等但符號(hào)相反。

　零極點(diǎn)圖是傳達(dá)有關(guān)過濾系統(tǒng)的重要信息的一種方便且有效的方法。如下圖所示，它指示極點(diǎn)/零頻率和 Q 因子：　

　巴特沃斯拓?fù)?/strong>
　我在這里使用“拓?fù)洹币辉~是為了強(qiáng)調(diào)這樣一個(gè)事實(shí)：巴特沃斯“濾波器”實(shí)際上是一類具有相同一般特性的電路。
　與生活中的大多數(shù)其他事物一樣，您不可能擁有一種在各方面都優(yōu)于所有其他系統(tǒng)、設(shè)備或材料的系統(tǒng)、設(shè)備或材料。相反，我們需要權(quán)衡：性能與承受能力、耐用性與重量、空閑時(shí)間與后臺(tái)賬戶余額等等。
　巴特沃斯優(yōu)先級(jí)是通帶平坦度，這就是將巴特沃斯拓?fù)涞母鞣N實(shí)例結(jié)合在一起的原因：它們限度地減少了截止頻率之前發(fā)生的幅度變化量。這與切比雪夫拓?fù)湫纬蓪?duì)比，切比雪夫拓?fù)湓试S通帶紋波，以增加從通帶到阻帶過渡的陡度。

　通帶平坦度在下圖中很明顯，這是四階巴特沃斯濾波器的幅度響應(yīng)。

　巴特沃斯零極點(diǎn)圖

　為了實(shí)現(xiàn)低通巴特沃斯響應(yīng)，我們需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)傳遞函數(shù)，其極點(diǎn)排列如下：　

　這個(gè)特殊的濾波器有四個(gè)極。其他桿需要遵循相同的模式?！?br>　以下要點(diǎn)將幫助您解壓縮此圖中包含的信息。
　低通巴特沃斯零極點(diǎn)圖的基本特征是極點(diǎn)具有相等的角間距，并且沿著左半平面中的半圓形路徑分布。
　圓上的所有點(diǎn)到圓心的距離都相同。因此，原點(diǎn)和每個(gè)極點(diǎn)之間的距離相同，這又意味著所有極點(diǎn)具有相同的頻率。
　兩極之間的角度等于 180°/N，其中 N 是濾波器的階數(shù)。在上例中，N = 4，分離角為 180°/4 = 45°。
　巴特沃斯極點(diǎn)的等角間距表明偶數(shù)階濾波器將僅具有復(fù)共軛極點(diǎn)。奇數(shù)階濾波器具有復(fù)共軛極點(diǎn)和一個(gè)純實(shí)極點(diǎn)，該極點(diǎn)沿負(fù)實(shí)軸距原點(diǎn) ω0 的距離。
　所有極點(diǎn)都有相同的\[ω_0\]，但距原點(diǎn)的水平距離不同。因此，極點(diǎn)具有不同的 Q 因子。
　

關(guān)鍵詞：巴特沃斯濾波器