如果您研究過(guò)拉普拉斯變換，您就會(huì)熟悉將時(shí)間函數(shù)變換為頻率函數(shù)的概念。拉普拉斯變換中使用的變量是s，它代表復(fù)頻率，即具有實(shí)部和虛部的頻率：　　
　　\[s=\sigma+j\omega\]　
　　您可以將 z 變換視為拉普拉斯變換的離散時(shí)間版本。我們使用復(fù)數(shù)變量 z 代替 s，并通過(guò)將 z 變換應(yīng)用于數(shù)據(jù)點(diǎn)序列，我們創(chuàng)建了一個(gè)表達(dá)式，使我們能夠?qū)﹄x散時(shí)間信號(hào)執(zhí)行頻域分析。
　　通過(guò) z 變換，我們可以為數(shù)字濾波器創(chuàng)建傳遞函數(shù)，并且可以在復(fù)平面上繪制極點(diǎn)和零點(diǎn)以進(jìn)行穩(wěn)定性分析。逆 z 變換允許我們將 z 域傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為差分方程，該差分方程可以在為微控制器或數(shù)字信號(hào)處理器編寫(xiě)的代碼中實(shí)現(xiàn)。   　　
　　如何計(jì)算 z 變換
　　離散時(shí)間信號(hào) x[n] 與其單邊 z 變換 X(z) 之間的關(guān)系表示如下：　　
　　\[X(z)=\sum_{n=0}^\infty x[n]z^{-n}\]　
　　該求和以一系列單獨(dú)值開(kāi)始，并且由于我們從 n = 0 到 n = 無(wú)窮大進(jìn)行求和，因此該序列的長(zhǎng)度是無(wú)限的。我們可以用無(wú)限的求和序列來(lái)做什么？
　　這就是融合發(fā)揮作用的地方?！　?br>　　與 z 變換的收斂
　　考慮單位步長(zhǎng)，我們定義如下：　　
　　\[u[n]=\begin{}0 & n < 0\\1 & n \geq 0\end{}\]　　
　　結(jié)果如下：　　
　　\[X(z)=\sum_{n=0}^\infty u[n]z^{-n}=z^0+z^{-1}+z^{-2}+z^{- 3}+\ …\]　
　　無(wú)限序列的數(shù)字相加可以收斂為一個(gè)數(shù)字。例如：　
　　\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ …\ =2\]　　
　　如果我們按照相同的模式繼續(xù)序列并對(duì)所有元素求和，當(dāng)元素?cái)?shù)量接近無(wú)窮大時(shí)，總和接近數(shù)字 2。通過(guò) z 變換，元素包含一個(gè)變量，但仍然可以發(fā)生收斂 -序列收斂為變量表達(dá)式而不是數(shù)字。
　　上面顯示的單位步驟的序列收斂如下：　　
　　\[X(z)=\sum_{n=0}^\infty u[n]z^{-n}=z^0+z^{-1}+z^{-2}+z^{- 3}+\ …=\frac{z}{z-1}\]　　
　　并非所有 z 變換都會(huì)收斂。以下是具有“良好行為”z 變換的離散時(shí)間信號(hào)的示例；請(qǐng)注意，所有這些 x[n] 函數(shù)都乘以單位步長(zhǎng)，以便 z 變換運(yùn)算應(yīng)用于 n < 0 時(shí)為零的序列?！　?br>　　\[x[n]=nu[n]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(z)=\frac{z}{(z-1)^2}\]
　　\[x[n]=a^nu[n]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(z)=\frac{z}{za}\]
　　\[x[n]=\sin(\omega n)u[n]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(z)=\frac{z\sin(\omega)}{z ^2-2z\cos(\omega)+1}\]