在離散頻譜分析的實際世界中，我們經(jīng)常想要估計正弦曲線的頻率（或感興趣的非常窄帶信號的中心頻率）。

    應(yīng)用基 2 快速傅里葉變換 (FFT) 后，我們感興趣的窄帶信號很少恰好位于頻率已知的 FFT 雙中心上。因此，由于 FFT 的泄漏特性，具有 N 個時域樣本的正弦曲線的離散頻譜可能看起來像下面圖 13-37(a) 中所示的幅度樣本。

    圖13-37。頻譜幅度：(a) N 點 FFT；(b) 4N 點 FFT。
    在那里，我們看到正弦曲線的頻譜峰值位于 FFT'sm = 5 和 m = 6 bin 中心之間。（變量 m 是 N 點 FFT 的頻域索引。
    FFT bin 間距為 f s /N，其中，一如既往，fs 是采樣率。）仔細(xì)檢查圖 13-37(a)，我們可以說正弦曲線位于 m = 5 和 m = 5.5 的范圍內(nèi)，因為我們可以看出，光譜樣本比 m = 5 bin 中心更接近 m = 6 bin 中心。
    在此示例中，實值正弦時間信號的頻率為 5.25f s /N Hz。在這種情況下，我們的頻率估計分辨率是 FFT bin 間距的一半。
    我們經(jīng)常需要更好的頻率估計分辨率，并且確實有多種方法可以提高該分辨率。
    例如，我們可以收集 4N 個時域信號樣本并執(zhí)行 4N 點 FFT，從而將 bin 間距縮小為 f s /4N?；蛘呶覀兛梢杂?3N 個零值樣本填充（附加到原始時間樣本的末尾）原始 N 個時間樣本，并對延長的時間序列執(zhí)行 4N 點 FFT。

    這還將提供 f s /4N 的改進(jìn)頻率分辨率，如圖 13-37(b) 所示。由于頻譜峰值位于 binmpeak = 21，我們使用以下公式估計信號的中心頻率（以 Hz 為單位）：

    這兩種方案都收集更多數(shù)據(jù)和補(bǔ)零，計算成本很高?？茖W(xué)文獻(xiàn)中已經(jīng)描述了許多其他提高精度頻率測量的技術(shù)——從鄰近的地球物理學(xué)領(lǐng)域到崇高的天體物理學(xué)研究——但這些方案中的大多數(shù)都追求精度，而不考慮計算的簡單性。

    在這里，我們描述了一種計算簡單的頻率估計方案。假設(shè)我們有實值窄帶時間信號的 FFT 頻譜樣本 X(m)，其幅度如下圖13-38 所示。

    圖13-38。窄帶信號的 FFT 頻譜幅度。