在之前的文章中，我們討論了噪聲幅度的概率密度函數(shù) (PDF) 使我們能夠提取一些寶貴的信息，例如噪聲分量的平均值和平均功率。雖然 PDF 允許我們估計(jì)噪聲的平均功率，但它沒有揭示噪聲功率在頻域中的分布情況。

在本文中，我們將首先研究常見噪聲源的一個(gè)重要特征：噪聲均方根 (RMS) 與峰峰值之間的關(guān)系。然后，我們將看到可以估計(jì)我們感興趣的噪聲源的頻譜。

高斯或正態(tài)分布

在本文的部分，我們從示例噪聲信號(hào)中提取了 100,000 個(gè)樣本，并使用它們創(chuàng)建了噪聲幅度分布的直方圖。對(duì)直方圖進(jìn)行歸一化后，我們便可以估算出噪聲幅度 PDF。估計(jì)的 PDF 如圖 1 所示。

圖1

圖 1 中的分布實(shí)際上是對(duì)稱為高斯分布或正態(tài)分布的 PDF 的估計(jì)，它由以下等式給出：

pX(x)=1σ√2πexp(?(x?μ)22σ2)pX(x)=1σ2πexp(?(x?μ)22σ2)

公式 1

其中 σ 和 μ 分別是分布的標(biāo)準(zhǔn)差和均值。我們之前討論過噪聲幅度的 PDF 可用于估計(jì)噪聲信號(hào)的均值和方差。如果我們將圖 1 中的值代入均值和方差方程，我們將分別獲得大約 0 和 1 的均值和方差。讓我們比較估計(jì)的 PDF，它看起來(lái)像 σ 2 ≈ 1 和 μ≈ 0 的高斯分布，與方程 1 給出的正態(tài)分布的值（對(duì)于相同的均值和方差值）。如圖 2 所示。如您所見，σ=1 和 μ=0 的正態(tài)分布與我們估計(jì)的 PDF 非常匹配。

圖 2

有趣的是，許多常見的噪聲源（例如電阻器產(chǎn)生的噪聲）呈現(xiàn)高斯分布。 

噪聲 RMS 和峰峰值

既然我們知道許多噪聲源具有等式 1 給出的振幅分布，我們能否建立 PDF 特性與噪聲峰峰值之間的關(guān)系？還有一個(gè)更好的問題：我們?nèi)绾慰紤]隨機(jī)信號(hào)的峰峰值？圖2表明噪聲幅度大于4的概率很低；然而，這個(gè)概率并不是真的為零。 

對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，我們只能定義一個(gè)峰峰值。如圖 3 所示，對(duì)于均值為 μ 且標(biāo)準(zhǔn)差為 σ 的高斯分布，大約 68.27% 的樣本在均值 (μ) 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。此外，95.45% 和 99.73% 的噪聲樣本分別在平均值的 2σ 和 3σ 范圍內(nèi)。

圖 3.圖片由Towards Data Science提供

根據(jù)以上信息，我們可以假設(shè)噪聲峰峰值等于分布標(biāo)準(zhǔn)差 (6σ) 的六倍。在這種情況下，我們可以預(yù)期大約 99.73% 的噪聲樣本在 μ-3σ 到 μ+3σ 的范圍內(nèi)。換句話說，對(duì)于大約 99.73% 的噪聲樣本，峰峰值不能超過 6σ。換句話說，概率為 0.9973，噪聲的峰峰值將小于 6σ。如果我們假設(shè)噪聲的平均值為零，則噪聲幅度將小于 3σ 的概率為 0.9973。

請(qǐng)務(wù)必注意，這只是定義噪聲峰峰值的一種方法。另一個(gè)常見定義將 6.6σ 視為噪聲峰峰值。根據(jù)此定義，大約 99.9% 的樣品會(huì)給出小于 6.6σ 的峰峰值。如果平均值為零，概率為 0.999，則噪聲樣本的振幅將小于或等于 3.3σ。

請(qǐng)注意，如果噪聲的平均值為零，則標(biāo)準(zhǔn)偏差將等于噪聲 RMS 值。在評(píng)估模擬元件的噪聲時(shí)，我們通常需要將峰峰值噪聲轉(zhuǎn)換為 RMS 值，反之亦然。為此，根據(jù)我們?nèi)绾味x峰峰值，我們可以使用以下兩個(gè)公式之一：\(6 \times V_{noise, rms}= V_{noise, pp} \: \: \:或 \: \: \:6.6 \times V_{noise, rms}= V_{noise, pp}\)。在為 A/D 轉(zhuǎn)換器選擇合適的參考電壓 IC 時(shí)，請(qǐng)參閱本文以獲取使用此信息的示例。$6\times V_{noise,\mathrm{rm}s=}{V}^{}{}_n{}_o{}_i{}_s{}_e{}_{,}{}_p{}_{?}{}_p\_{}_{}或\_6.6\times V_{noise,rms}=V_{noise,p?p}$

功率譜密度

雖然 PDF 允許我們估計(jì)噪聲的平均功率，但它并沒有揭示這個(gè)給定的噪聲功率在頻域中是如何分布的。為了更好地理解為什么信號(hào)的總平均功率沒有指定信號(hào)頻率內(nèi)容，請(qǐng)考慮以下兩個(gè)確定性信號(hào)：

$$s_1\left(t\right)=Asin(2\pi \times 1\times t)$$

$$s_2\left(t\right)=Asin(2\pi \times {10}^9\times t)$$

這兩個(gè)信號(hào)的平均功率相同，并且正比于\(\frac {A^2}{2}\)。但是，它們具有不同的頻率內(nèi)容。s 1 (t) 具有 1 Hz 的頻率分量，而 s 2 (t) 具有 1 GHz 的頻率分量！同樣，噪聲的平均功率并不能決定其頻率成分。PDF 顯示了樣本幅度的分布，但它沒有向我們提供有關(guān)噪聲樣本變化速度的任何信息。正如確定性信號(hào)一樣，噪聲樣本在時(shí)域中變化得越快，信號(hào)功率就越集中在更高的頻率上。 $\frac{{\mathrm{一個(gè)}}^2}{2}$

為了表征噪聲源的頻率成分，我們測(cè)量感興趣帶寬內(nèi)不同頻率的噪聲平均功率。例如，要找到 f 1處的噪聲平均功率，理論上我們可以將噪聲樣本應(yīng)用于帶寬為 1 Hz 且中心頻率調(diào)諧到 f 1的理想帶通濾波器。這個(gè)理想的帶通濾波器將衰減其 1 Hz 帶寬之外的所有頻率分量。在帶通濾波器的輸出端測(cè)得的平均功率 (S X (f 1 )) 是噪聲源在 f 1時(shí)可能表現(xiàn)出的平均功率的估計(jì)值。這在圖 4 中進(jìn)行了說明。

圖 4

我們可以對(duì)感興趣帶寬內(nèi)的其他頻率重復(fù)上述過程。這將為我們提供噪聲平均功率與頻率的關(guān)系，如圖 5 所示。

圖 5

這些測(cè)量指定了噪聲的頻率成分，通常稱為噪聲功率譜密度 (PSD)。由于我們使用 1-Hz 帶通濾波器來(lái)測(cè)量平均功率，因此 PSD 圖的值將以 V 2 /Hz 為單位。此外，制造商通常通過提供 PSD 的平方根來(lái)指定其產(chǎn)品噪聲性能。在這種情況下，單位將為 \(V/\sqrt{Hz}\)。注意提供的單位可以讓我們識(shí)別是否給出了噪聲功率或電壓密度與頻率的關(guān)系。$V/\sqrt{\mathrm{赫茲}\_}$

此外，噪聲有時(shí)以每根赫茲的安培數(shù) (\(A/\sqrt{Hz}\)) 為單位指定。在下一篇文章中，我們將看到 PSD 概念是一個(gè)強(qiáng)大的工具，它允許我們檢查噪聲源對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。$A/\sqrt{\mathrm{赫茲}\_}$

結(jié)論

在本文中，我們首先研究了常見噪聲源的一個(gè)重要特征：噪聲 RMS 與峰峰值之間的關(guān)系。我們看到噪聲峰峰值大約是其 RMS 值的六倍。在評(píng)估模擬組件的噪聲性能時(shí)，這種關(guān)系變得尤為重要。然后，我們查看了噪聲 PSD 的定義，它使我們能夠估計(jì)噪聲頻譜。