聲子晶體是什么？
　　聲子晶體是一種人工制造的結(jié)構(gòu)或材料，可對(duì)其周期性結(jié)構(gòu)或幾何屬性進(jìn)行設(shè)計(jì)，以此影響機(jī)械波的傳播特性。設(shè)計(jì)制造聲子晶體時(shí)，人們能夠在特定的頻率范圍內(nèi)隔離振動(dòng)。特定頻率范圍內(nèi)，也稱為帶隙，帶隙內(nèi)的振動(dòng)會(huì)因受到周期性結(jié)構(gòu)內(nèi)波干涉的影響而衰減。這一行為與一種更廣為人知的納米結(jié)構(gòu)相似，這一納米結(jié)構(gòu)便是半導(dǎo)體應(yīng)用中光子晶體。
　　優(yōu)化聲子晶體帶隙是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。我們 Veryst 工程公司的研究人員發(fā)現(xiàn) COMSOL Multiphysics 正是處理這類難題的寶貴工具。
　　建立聲子帶隙分析
　　要在周期性結(jié)構(gòu)中創(chuàng)建帶隙，一種方法是使用由堅(jiān)硬的內(nèi)核材料與柔軟的外部基體材料構(gòu)成的晶胞。其構(gòu)型如下圖所示。

　　晶胞示意圖。晶胞由堅(jiān)硬的內(nèi)核材料與柔軟的外部基體材料構(gòu)成。
　　對(duì)聲子晶體的頻率響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，僅僅需要對(duì)周期性晶胞進(jìn)行分析，及利用覆蓋一定波矢范圍的布洛赫周期性邊界條件。相對(duì)較小范圍的波矢即可覆蓋所謂的不可約布里淵區(qū)（irreducible Brillouin zone，簡(jiǎn)稱 IBZ）的邊緣。在二維矩形結(jié)構(gòu)中，IBZ（下圖所示）從 Γ 沿著 X、M 后回到 Γ。

　　二維正方形周期性結(jié)構(gòu)中的不可約布里淵區(qū)。
　　布洛赫邊界條件（一維時(shí)又稱 Floquet 周期性邊界條件）可約束周期性結(jié)構(gòu)的邊界位移，表達(dá)式如下：

　　其中 kF 表示波矢。源端和目標(biāo)端分別在晶胞的左右邊緣和上下邊緣各應(yīng)用。此類型的邊界條件可在 COMSOL Multiphysics 中獲得。由于邊界條件的性質(zhì)，我們需要一個(gè)復(fù)雜的特征值求解。系統(tǒng)方程組屬于厄密特矩陣，得出的特征值為實(shí)數(shù)，也就是假定模型是無(wú)阻尼的。COMSOL 軟件能夠自動(dòng)運(yùn)行計(jì)算，這一步驟因此變得輕松簡(jiǎn)單。
　　我們對(duì)特征值求解分析作參數(shù)化掃描，其中一個(gè)參數(shù) k 的范圍為 0 到 3。這里，0 到 1 定義為覆蓋不可約布里淵區(qū) Γ-X 邊緣的波數(shù)，1 到 2 定義 為覆蓋 X-M 邊緣的波數(shù)，2 到 3 則定義為 M-Γ 邊緣的波數(shù)。對(duì)于每一個(gè)參數(shù)，我們將求解價(jià)本征頻率，然后繪制每一個(gè) k 值時(shí)波的傳播頻率。繪圖中的帶隙代表其中不存在波傳播的區(qū)域。暫且不論復(fù)雜的晶胞模型，完成分析只需幾分鐘時(shí)間。由此可以總結(jié)，如果你以特定的帶隙位置為目標(biāo)，或者想要使帶隙寬度化，那么使用晶胞是一種高效的優(yōu)化手段。
　　執(zhí)行優(yōu)化研究
　　為了清晰闡釋這類應(yīng)用，我們對(duì)上圖的周期性結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模擬，晶胞尺寸為 1 cm × 1 cm，內(nèi)核材料為 4 mm × 4 mm；基體材料的模量為 2 GPa，密度為 1000 kg/m3；內(nèi)核材料的模量則為 200 GPa，密度為 8000 kg/m3。下圖顯示 60 kHz和 72 kHz 之間禁止波傳播的頻率范圍。

　　選定晶胞參數(shù)的頻帶示意圖。
　　為了演示如何利用帶隙概念實(shí)現(xiàn)隔振，我們將模擬上述周期性結(jié)構(gòu)中的晶胞組成的“11 × 11”的晶格結(jié)構(gòu)。這些晶胞承受的激勵(lì)頻率為 67.5 kHz（帶隙中）。
　　該結(jié)構(gòu)用于演示帶隙中針對(duì)施加頻率的隔振。
　　下方動(dòng)畫重點(diǎn)演示了晶胞結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。通過(guò)結(jié)果，我們可以了解到周期性結(jié)構(gòu)能夠十分有效地將施加的振動(dòng)與剩余結(jié)構(gòu)隔離開(kāi)。即使減少周期性晶胞的使用數(shù)量，仍然可以很有效地隔振。

　　率為 67.5 kHz 時(shí),振動(dòng)響應(yīng)的動(dòng)畫。
　　請(qǐng)注意，當(dāng)頻率在帶隙之外時(shí)，周期性結(jié)構(gòu)不會(huì)隔振。此時(shí)的響應(yīng)情況請(qǐng)參考下圖。
　　帶隙之外頻率的振動(dòng)響應(yīng)。左圖：27 kHz。右圖：88 kHz。