鮮為人知的相位噪聲特性

美國模擬器件公司 Paul Smith

相位噪聲涵蓋范圍很廣，包括相位噪聲特性 、相位噪聲測量方法 以及它對系統(tǒng)性能的影響。傳統(tǒng)相位噪聲分析的重點(diǎn)僅放在單載波無線電系統(tǒng)中正弦波信號的降低，而相位噪聲對多載波接收機(jī)、寬帶系統(tǒng)或數(shù)字無線電的影響則很少涉及。一些鮮為人知的相位噪聲問題現(xiàn)在越來越引起設(shè)計人員的關(guān)注。

關(guān)于相位噪聲專題的信息有很多，包括相位噪聲特性 、相位噪聲測量方法 以及它對系統(tǒng)性能的影響。眾所周知，振蕩器和時鐘的相位噪聲已成為導(dǎo)致現(xiàn)代無線電系統(tǒng)性能降低的因素之一。然而，大多數(shù)傳統(tǒng)相位噪聲分析僅將重點(diǎn)放在單載波無線電系統(tǒng)中正弦波信號的降低，而相位噪聲對多載波接收機(jī)、寬帶系統(tǒng)或數(shù)字無線電的影響則很少涉及。本文將討論一些與采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)相位噪聲有關(guān)的一些鮮為人知的問題，主要是多載波無線電、寬帶信號和欠采樣無線電體系結(jié)構(gòu)等。

采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的相位抖動

計算采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)中由相位噪聲引起的信噪比（SNR）性能降低的簡單的方法是將相位噪聲轉(zhuǎn)換成相位抖動。利用在給定頻率條件下，時間延遲與相位延遲相同的原理很容易實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換。擴(kuò)展這一原理并以噪聲功率的形式寫出，得到公式（1）：

其中，{ }=相位噪聲有效值，單位為弧度（rad）

_{ }=相位抖動有效值，單位為秒(s)

_{clk}=時鐘頻率，單位為弧度/秒(rad/s)
也就是說，對于一個給定的時鐘抖動誤差，信號頻率越高則相位誤差越大。 _{ }項(xiàng)是時鐘的總積分相位噪聲 ，并通過下式定義時鐘SNR：

SNR_{clk}=-10log( ^{2}_{ })

這樣，（1）式將總積分相位噪聲，或時鐘SNR與總時鐘抖動聯(lián)系起來。相位噪聲和時鐘抖動是同一現(xiàn)象的兩種不同表述方式。
傳統(tǒng)采樣數(shù)據(jù)SNR分析采用圖1作為確定時鐘噪聲在采樣數(shù)據(jù)中產(chǎn)生誤差的輔助方法，由此可以得到下面幾個公式。

零均值，獨(dú)立性

由此得到噪聲功率是抖動功率和信號功率導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。
用一個帶有抖動的時鐘對信號采樣后的SNR定義為：

例如，在一個單正弦波中，

v_{out}(t)=Asin _{O}t
v'_{out}(t)=A _{O}cos _{O}t

因此，
E\,﹛v_{out}^{2}(t)﹜=v_{out}(t)的功率=\frac{A^{2}}{2}

E\,﹛v'_{out}\,^{2}(t)﹜=v'_{out}(t)的功率=\frac{ ^{2}_{o}A^{2}}{2}

利用（2）式，得到

這是用一個帶有抖動的時鐘對一個單正弦波信號采樣后的標(biāo)準(zhǔn)SNR公式，這一公式可在很多著作中見到。直覺上信號頻率越高則轉(zhuǎn)換速率越大，這導(dǎo)致采樣時間改變時電壓變化會增大。應(yīng)當(dāng)記住，為了得到數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器產(chǎn)生的總噪聲，在此基礎(chǔ)上還必須加上量化噪聲和熱噪聲。

將上述結(jié)論擴(kuò)展到多載波信號是一件很容易的事。采用與前面相同的過程，只是將v_{out}定義為n個等幅正弦波的和，

這個結(jié)論是相對于總信號v_{out}的。當(dāng)只相對于其中一個載波時，SNR變成該式用于多載波系統(tǒng)中的單載波。

與單載波情況（3）式相比，（4）式中的分母含有n個頻率項(xiàng)。每個載波基底的SNR（dBc）已經(jīng)降低大約10log(n)。然而，在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器中，每一個載波可能都需要根據(jù)信號統(tǒng)計量降低10log(n) ～ 20log(n)，以避免削弱量化器。這相當(dāng)于將量化噪聲和熱噪聲本底提高20log(n)，從而使多載波時鐘抖動對總SNR的影響比單載波情況下小。這時量化噪聲和熱噪聲可能起到更大的作用。

許多現(xiàn)代無線電系統(tǒng)不使用窄帶載波。調(diào)制后的數(shù)據(jù)經(jīng)常占有相當(dāng)寬的頻譜。為了確定這些系統(tǒng)中時鐘抖動對SNR的影響，為方便起見假設(shè)數(shù)據(jù)具有零均值，并且平坦的頻譜均勻地分布在fL和fH之間（fL < fH），如圖2所示 。將幅度平方并對帶寬積分，可得到總信號功率 out 。

帕斯瓦爾定理的一種表述方式指出一個信號在時域的能量與該信號在頻域的能量相等，也就是，

其中∣g(f)∣^{2}是功率譜密度，單位為W/Hz。

此外，使用傅立葉變換的微分定理，即一個導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換等于原函數(shù)的傅立葉變換乘以i ，如下所示：

將上式代入帕斯瓦爾定理，得到v'(t)的功率與i g( )的功率相等，如下式所示：

由于g(f)= 定義域在fL 和fH 之間（并且此定義域以外為0），上式變?yōu)椋?/p>

代入（2）式，

這是一個在fL 和 fH之間均勻分布的寬帶信號經(jīng)帶有抖動 t的時鐘采樣后的SNR。為了檢測其是否正確，設(shè)fL=fH=fO（所有能量都位于一個單頻率fO處），得到的表達(dá)式與單頻率情況(3)式相同。

假設(shè)fL=fO BW/2，fH=fO+BW/2我們可以得到另一個表達(dá)式。這種情況下該表達(dá)式變?yōu)?/p>

用于中心頻率為fO帶寬為BW的均勻信號 。

再做正確性檢查，當(dāng)BW=0時其結(jié)果與單載波情況下的（3）式相同。

上述所有推導(dǎo)得到的一個結(jié)論是，只要fO>10BW，信號的帶寬就幾乎可以忽略。將已調(diào)制信號作為單載波信號處理會得到本質(zhì)上相同的結(jié)果。然而，如果該條件不成立，則采用單載波近似將給出過于樂觀的結(jié)果。

本文所討論的重點(diǎn)為采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，但文中沒有提到混疊的影響。上述推導(dǎo)出的全部公式都假設(shè)沒有混疊現(xiàn)象。抖動的帶寬被認(rèn)為完全（并且方便地 ）落在一個奈奎斯特區(qū)內(nèi)。如果考慮時鐘抖動相當(dāng)壞，并且信號與奈奎斯特區(qū)邊界足夠接近，則由抖動產(chǎn)生的噪聲會在帶內(nèi)形成混疊，從而進(jìn)一步降低SNR。圖3示出了這種影響。時鐘饋通信號會產(chǎn)生類似的問題。如果信號和時鐘頻率很接近，則時鐘產(chǎn)生的相位噪聲會直接滲漏到輸出端，使噪聲本底變壞。

采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)中的相位噪聲

前面的討論中也沒有考慮到時鐘相位噪聲對頻譜的影響。只是考慮了利用（1）式從總積分相位噪聲計算出總的抖動（有效值，單位為秒）。為了了解時鐘相位噪聲頻譜如何影響采樣數(shù)據(jù)頻譜，便捷的方法是利用一個單正弦波信號。將（1）和（3）結(jié)合推導(dǎo)出（6）。

采樣信號的SNR與時鐘的SNR相同，只是相差一個比例系數(shù)，即時鐘和信號頻率比。當(dāng)信號頻率變高時，SNR會以20log的形式降低。這就說明為什么欠采樣系統(tǒng)（即帶通信號頻率僅占據(jù)高于奈奎斯特頻帶的一小部分）要求時鐘比基帶采樣系統(tǒng)具有好得多的相位抖動性能。事實(shí)上，中頻采樣數(shù)字無線電結(jié)構(gòu)的性能通常受到時鐘相位噪聲而非數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器性能的限制。

雖然從（6）式中沒有看出，但是如圖3所示，時鐘相位噪聲的頻譜形狀會加在采樣數(shù)據(jù)之上。這可以通過使用混頻器模擬采樣過程的方法直觀地看到。如圖4所示，當(dāng)將一個具有相位噪聲 的時鐘施加到混頻器時，其輸出會包含兩個混頻的乘積，每一個都包含時鐘的完全相位噪聲 。雖然這一簡化的模型沒有顯示出（6）式所描述的比例系數(shù)，但它可用來顯示出時鐘相位頻譜如何影響作為結(jié)果的信號。

通過相位調(diào)制時鐘并將其輸入一個ADC很容易測試。通過施加不同的信號頻率，還可以驗(yàn)證（6）式。當(dāng)AD9430 ADC的時鐘頻率為61.44 MHz時調(diào)制時鐘相位使其邊帶為 60dBc。圖5a，5b和5c顯示了這一實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

圖5a示出的是輸入信號頻率為3.84 MHz時得到的結(jié)果。時鐘調(diào)制分量可以看成是靠近基頻信號的兩個雜散頻率或毛刺。根據(jù)（6）式，時鐘調(diào)制毛刺應(yīng)為 60 20log(61.44/3.86)= 84 dBc。這與圖5a所示的結(jié)果非常接近。

圖5b示出的是輸入信號頻率為65.28 MHz時得到的結(jié)果。這是第3奈奎斯特區(qū)。FFT顯示基帶混疊與圖5a中3.84 MHz信號的位置相同（即，65.28 MHz 61.44 MHz = 3.84 MHz）。這里fclk~fsig和 60dBc時鐘雜散頻率可以很容易的被看成是雜散頻率加在信號之上，也是 60dBc。這正是按照（6）式所期望的結(jié)果。

圖5c示出的是輸入信號頻率為124.72 MHz時第5奈奎斯特區(qū)的結(jié)果。該頻率大約是圖5b所示頻率的2倍，并且根據(jù)(6)式，雜散頻率應(yīng)該增加大約6 dB，這從圖中也可以看到。

這樣就說明時鐘頻譜確實(shí)出現(xiàn)在采樣信號附近并且具有一個由（6）式?jīng)Q定的比例系數(shù)。但是，到目前為止上述討論并未區(qū)分ADC和DAC。DAC表現(xiàn)出的特性會和ADC相同嗎？可以在AD9744 DAC上做相似的實(shí)驗(yàn)，時鐘頻率為61.44 MHz，通過相位調(diào)制給出 40 dBc邊帶，從而生成11 MHz正弦波，5個奈奎斯特頻帶的結(jié)果如圖6所示。

可以清楚地看出DAC輸出固有的Sinc函數(shù)。但是時鐘雜散頻率發(fā)生了什么變化？這可以在每一個輸出圖形中清楚地看出，只是其振幅不像在ADC中那樣增加。相對于滿度值，其雜散頻率成分的幅度保持不變。

可以從幾個方面來解釋這一點(diǎn)。當(dāng)從dBc角度觀看時，隨著信號頻率增大，調(diào)制雜散頻率按照（6）式所描述的相同方式變壞。Sinc函數(shù)同時作用于信號幅度和產(chǎn)生的時鐘相位噪聲。計算與每個載波相關(guān)的雜散頻率幅度（以dBc的形式），（6）式是個很好的描述。

另一方面，Sinc函數(shù)特性定義為

噪聲的幅度由（6）式的倒數(shù)給出

也就是說，噪聲直接與時鐘相位噪聲和信號頻率成比例。將Sinc函數(shù)平方（因?yàn)闄z測的是功率譜密度）并將兩者相乘以得到DAC產(chǎn)生的合成噪聲傳遞函數(shù)：

正弦函數(shù)引起的周期零點(diǎn)特性仍然存在。然而，Sinc函數(shù)的分母是產(chǎn)生高頻滾降的原因。這一幅度的減弱恰好與（6）式所描述的在高頻處增加的相位噪聲相抵消。這樣一來，DAC產(chǎn)生的相位噪聲不會在高頻部分增長。

在系統(tǒng)調(diào)試中的應(yīng)用

上述結(jié)論除了能夠解決與系統(tǒng)設(shè)計相關(guān)的一些明顯問題以減小信號降低，還具有其他一些值得一提的作用。這與發(fā)現(xiàn)未知毛刺和噪聲源有關(guān)。例如，如果DAC輸出端的本底噪聲升高，則絕大多數(shù)情況下不是由時鐘相位噪聲引起的，可能是由于數(shù)字信號耦合到輸出電路引起。

如果在采樣信號中存在毛刺，檢驗(yàn)毛刺是否是由時鐘引起的一個比較好的測試方法就是改變信號幅度。模擬失真項(xiàng)的變化率將是信號幅度變化率的2倍（2階失真）或3倍（3階失真）。當(dāng)信號幅度改變時，由數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器量化過程的非線性產(chǎn)生的毛刺可能完全不會變化，或者如果它們變化，也將是不可預(yù)測的變化。另一方面，由時鐘產(chǎn)生的毛刺會以dB為單位隨信號呈線性變化。

為了確定采樣數(shù)據(jù)信號中毛刺的來源，不僅要看可能由信號直接耦合到輸出端所產(chǎn)生明顯的雜散頻率處的毛刺，還要看偏移該信號頻率處的毛刺。例如，如果毛刺與載波相差10 MHz，要檢查系統(tǒng)中是否存在10 MHz振蕩器。如果存在，該頻率很可能通過時鐘滲透到輸出信號。

結(jié)論

本文討論了相位噪聲和時鐘抖動之間的關(guān)系，推導(dǎo)出當(dāng)用帶有抖動的時鐘對信號采樣時所出現(xiàn)的SNR降低，并將這一結(jié)論擴(kuò)展到多載波和寬帶調(diào)制數(shù)據(jù)系統(tǒng)。隨后討論了時鐘相位噪聲頻譜問題，并且通過ADC和DAC輸出信號頻譜驗(yàn)證了這些結(jié)論。，將這些結(jié)論用于調(diào)試可能存在非正常毛刺的系統(tǒng)，除了上述結(jié)論其他理由可能都無法解釋。